Estructuras algebraicas (Curso 2025/2026)

Curso 1. Asignatura Primer cuatrimestre. Obligatoria. 6 Créditos

Profesores

José Luis Guijarro Regalado - Coordinador

Objetivos

Esta asignatura tiene un doble objetivo: por un lado el alumno tiene que aprender a reconocer que distintas herramientas matemáticas tienen una estructura algebraica común y por tanto un funcionamiento básicamente igual.
Por otro lado, el alumno debe aprender a demostrar teoremas y propiedades de los objetos matemáticos usando el razonamiento abstracto. En esta asignatura, aunque se harán algunos cálculos numéricos, todo gira en torno al uso de símbolos y sus propiedades.

Requisitos previos

No se han establecido requisitos previos.

Competencias

    Competencias básicas y generales:
    CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
    CB3 - Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
    CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.

    Competencias transversales:
    CT2 - Capacidad de redactar y confeccionar informes, escritos y otros documentos en el ámbito de la Ingeniería Matemática comunicándolos de manera clara y efectiva tanto por escrito como oralmente.

    Competencias específicas:
    CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de las Matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
    CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de las Matemáticas.
    CE4 - Formular problemas de un entorno profesional, en el lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución.
    CE11 - Dominar los conceptos básicos de matemática discreta, lógica, algorítmica, codificación, investigación operativa e inteligencia artificial y su aplicación para la resolución de problemas propios de la ingeniería.

Resultados de aprendizaje

    - Conoce los conceptos básicos de la teoría de grupos y anillos.
    - Reconoce en situaciones prácticas estructuras básicas como: grupos abelianos finitamente generados, grupos simétricos alternados y diedrales, el anillo de los enteros o los anillos de polinomios en una y varias variables con coeficientes en un anillo arbitrario.
    - Aplica los conocimientos adquiridos a situaciones reales.

Descripción de los contenidos

    Grupos:
    1) Definición de grupo y propiedades
    2) Ejemplos: congruencias, permutaciones, matrices, dihédrico, el producto directo
    3) Subgrupos
    4) Teorema de Lagrange
    5) Subgrupos normales. Grupo cociente
    6) Homomorfismos de grupos
    7) Teoremas de isomorfía


    Anillos
    1) Definición de anillo y propiedades
    2) Subanillos e ideales
    3) Homomorfismos de anillos
    4) El anillo de polinomios en una variable, con coeficientes en un cuerpo

Actividades formativas

    AF1: Presentación de los conceptos relacionados con las asignaturas que componen cada materia y la resolución de casos que permitan al estudiante conocer cómo abordarlos, así como otras sesiones de tipo presencial en grupo como clases de discusión, puesta en común, etc.
    AF2: Actividades prácticas de dificultad creciente que permitan al estudiante ir adquiriendo la capacidad de alcanzar autonomía en la resolución de problemas.
    AF3: Estudio personal, elaboración de informes, realización de prácticas, etc. como trabajo independiente del estudiante o grupo de estudiantes.
    AF4: Pruebas de evaluación.

Cronograma

Pulse sobre este enlace para obtener el cronograma detallado en excel

messages.programa_asignatura.Sesión: Número de orden dentro de la asignatura. Actividad formativa: MG Clase Magistral, SM Seminario, LB Laboratorios, TL Taller, PC Práctica Clínica, EV Evaluación.

Sesión	Actividad	Descripción	Evaluación
MG	1	Presentación de la asignatura.
MG	2	Definición de grupo
MG	3	Primeras propiedades de un grupo
SM	4	Ejemplos de grupos: las congruencias
MG	5	Ejemplos de grupos: las permutaciones
MG	6	Ejemplos de grupos: el grupo dihédrico
MG	7	Subgrupos
SM	8	Ejemplos de subgrupos
MG	9	Teorema de Lagrange
MG	10	Subgrupos normales I
MG	11	Subgrupos normales II
SM	12	Ejemplos
MG	13	Grupo cociente I
MG	14	Grupo cociente II
MG	15	Grupo cociente III
SM	16	Ejemplos
MG	17	Homomorfismos de grupos
MG	18	Teoremas de isomorfía
MG	19	Teorema de clasificación de grupos cíclicos
SM	20	Ejemplos
MG	21	Teorema de clasificación de grupos abelianos finitos I
MG	22	Teorema de clasificación de grupos abelianos finitos II
MG	23	Teorema de clasificación de grupos abelianos finitos III
SM	24	Ejemplos de clasificación
EV	25	Recogida de ejercicios	10
MG	26	Teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados I
MG	27	Teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados II
MG	28	Teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados III
SM	29	Ejemplos de clasificación
MG	30	El teorema de Jordan I
MG	31	El teorema de Jordan II
MG	32	El teorema de Jordan III
SM	33	Ejemplos con matrices en distintos cuerpos al real
MG	34	El grupo de rubik : modelización
MG	35	El grupo de rubik
MG	36	El grupo de rubik :operaciones
SM	37	La resolución del cubo
EV	38	Recogida de trabajos	20
MG	39	Generadores y relaciones I
MG	40	Generadores y relaciones II
MG	41	Generadores y relaciones III
SM	42	Ejemplos
MG	43	Generadores yrelaciones IV
MG	44	Anillos
MG	45	Propiedades de anillos
MG	46	Subanillos
SM	47	Ejemplos
MG	48	Ideales
MG	49	Homomorfismos de anillos
MG	50	Teoremas de isomorfía
SM	51	Ejemplos
MG	52	El anillo de polinomios
MG	53	El anillo de polinomios II
SM	54	Ejercicios
MG	55	Factorización
MG	56	DIP
MG	57	Dominios euclideos
SM	58	Aplicaciones a la descomposición en factores priomos
EV	59	Recogida de ejercicios	10
EV	60	Examen final	60

Sistema y criterios de evaluación

    Sin perjuicio de que se pueda definir otra exigencia en el correspondiente programa de asignatura, con carácter general, la falta de asistencia a más del 70% de las actividades formativas de la asignatura, que requieran la presencia física o virtual del estudiante, tendrá como consecuencia la pérdida del derecho a la evaluación continua en la convocatoria ordinaria. En este caso, el examen a celebrar en el período oficial establecido por la Universidad será el único criterio de evaluación con el porcentaje que le corresponda según el programa de la asignatura.
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    La evaluación continua consta de las siguientes notas:
    1) se recogerán unos ejercicios sobre el temario dado en ese momento.
    Estos contarán un 20%

    3) se entregará un trabajo en el que se amplíe algún tema del curso.
    Este trabajo contará un 20%
    La fecha límite de entrega es el día del examen oficial de esta asignatura

    4) se realizará el examen oficial de la asignatura, escrito y sobre el contenido del curso.
    Esta nota valdrá un 60%

    En caso de perder la evaluación continua, la convocatoria ordinaria contará el 100%

    En la convocatoria extraordinaria no se tendrá en cuenta ninguna nota anterior. Se realizará un único examen de todo el contenido del curso.

Bibliografía

    Básica:
    1.- E. Bujalance, J. Etayo, J.M. Gamboa
            Anillos y cuerpos conmutativos: UNED
            ISBN: 8436244486
    2.- E. Bujalance, J. Etayo, J.M. Gamboa
            Teoría elemental de grupos: UNED
            ISBN: 8436244362
    3.- J. Dorronsoro, E. Hernández
            Números, grupos y anillos: Addison Wesley, UAM
            ISBN: 0201653958